Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
116587
(#10.1)
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10
|
Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.
Задача
116588
(#10.2)
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10
|
Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Известно, что ∠FAE = ∠BDC, а четырёхугольники ABDF и ACDE являются вписанными.
Докажите, что прямые BF и CE параллельны.
Задача
116589
(#10.3)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Последовательность чисел a1, a2, ... задана условиями a1 = 1, a2 = 143 и при всех n ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Задача
116590
(#10.4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число).
Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.
Задача
116591
(#10.5)
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10
|
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]