Версия для печати
Убрать все задачи

---

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:  x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
  б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

   Решение

Страница: << 236 237 238 239 240 241 242 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66096

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Двоичная система счисления ] [ Троичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98215

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Обыкновенные дроби ] [ Обратный ход ] [ Уравнения с модулями ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:  x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
  б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98528

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Раскладки и разбиения ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Даны две таблицы A и B, в каждой m строк и n столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом k от 1 до m сумма чисел в верхних k строках таблицы A не меньше суммы чисел в верхних k строках таблицы B. Известно также, что всего в таблице A столько же единиц, сколько в таблице B. Докажите, что при любом l от 1 до n сумма чисел в левых l столбцах таблицы A не больше суммы чисел в левых l столбцах таблицы B.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109193

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство  b_n+1 < b_n выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115986

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 236 237 238 239 240 241 242 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями