Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.
Решение
Решение
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через $3$ часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через $4$ часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки? Решение
Решение
У девяти фермеров есть клетчатое поле $9\times 9$, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на $9$ участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля $8$ ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил? Решение
Убрать все задачи
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.
РешениеНайдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180°.
РешениеНа часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через $3$ часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через $4$ часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
РешениеЗа круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?
РешениеУ девяти фермеров есть клетчатое поле $9\times 9$, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на $9$ участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля $8$ ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]
У восьми фермеров есть клетчатое поле $8\times 8$, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на $8$ участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля $9$ ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?
По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее двух). Среди любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в $2$ раза или в $5$ раз. Может ли сумма всех этих чисел равняться $2023$?
Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно $45$ различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, $\dots$, $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через $3$ часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через $4$ часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
У девяти фермеров есть клетчатое поле $9\times 9$, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на $9$ участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля $8$ ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]
Задача 67396 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67397 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67399 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67400 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67403 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 54]
