Страница:
<< 73 74 75 76
77 78 79 >> [Всего задач: 1024]
Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O1 и O
касаются внутренним образом в точке K. В точке A окружности радиуса
r проведена касательная, пересекающая окружность радиуса R в точках
B и C. Известно, что AC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок OK.
Определите:
а) при каких условиях на r, R и p возможна такая
геометрическая конфигурация;
б) длину отрезка BC.
ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные
на отрезках
AB и
CD как на диаметрах, касаются внешним образом
в точке
M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.
Окружность, проходящая через точки
A ,
M и
C , вторично пересекает
прямую, соединяющую точку
M и середину
AB в точке
K , а окружность,
проходящая через точки
B ,
M и
D , вторично пересекает ту же прямую
в точке
L . Докажите, что
|MK-ML| = |AB-CD| .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках
O1 и
O2. Пусть
a1 и
a2 — внутренние касательные к этим окружностям,
a3 и
a4 —
внешние касательные к ним. Пусть, далее,
a5 и
a6 — касательные к
окружности с центром в
O1, проведённые из точки
O2,
a7 и
a8 —
касательные к окружности с центром в точке
O2, проведённые из точки
O1.
Обозначим через
O точку пересечения
a1 и
a2. Доказать, что с центром в
точке
O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась
a3 и
a4, вторая касалась
a5,
a6,
a7,
a8, причём радиус второй в два
раза меньше радиуса первой.
Страница:
<< 73 74 75 76
77 78 79 >> [Всего задач: 1024]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности
